# 各种进制

#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

// 十进制转其他进制
string decimalToBase(int n, int base) {
    string digits = "0123456789ABCDEF"; // 可根据需要扩展到更多进制
    string result = "";
    while (n > 0) {
        int remainder = n % base;
        result = digits[remainder] + result;
        n = n / base;
    }
    return result;
}

// 其他进制转十进制
int baseToDecimal(string num, int base) {
    string digits = "0123456789ABCDEF"; // 可根据需要扩展到更多进制
    int result = 0;
    int power = 0;
    for (int i = num.length() - 1; i >= 0; --i) {
        int value = digits.find(num[i]);
        result += value * pow(base, power);
        power++;
    }
    return result;
}

// 其他进制之间的转换
string baseConversion(string num, int fromBase, int toBase) {
    int decimal = baseToDecimal(num, fromBase);
    string result = decimalToBase(decimal, toBase);
    return result;
}

int main() {
    // 十进制转二进制
    cout << decimalToBase(10, 2) << endl; // 输出: 1010

    // 二进制转十进制
    cout << baseToDecimal("1010", 2) << endl; // 输出: 10

    // 二进制转十六进制
    cout << baseConversion("1010", 2, 16) << endl; // 输出: A

    // 十六进制转八进制
    cout << baseConversion("A", 16, 8) << endl; // 输出: 12

    return 0;
}

# 二进制的深入探究

在将小数转换为二进制时，需要使用一种特殊的表示方法，称为浮点数表示法或二进制浮点表示法。这是因为大多数小数无法在有限位的二进制中准确表示。

常见的浮点数表示方法是 IEEE 754 标准，它定义了单精度浮点数（32 位）和双精度浮点数（64 位）的格式。下面我们以单精度浮点数为例，介绍如何将小数转换为二进制。

将小数的整数部分转换为二进制：将小数的整数部分不断除以 2，并记录每次的余数，直到商为 0 为止。然后将这些余数倒序排列，得到整数部分的二进制。
将小数的小数部分转换为二进制：将小数的小数部分不断乘以 2，并取出整数部分作为二进制的一位。然后将剩余的小数部分再次乘以 2，继续取整数部分，直到小数部分为 0 或达到所需的精度。
组合整数部分和小数部分的二进制：将整数部分的二进制与小数部分的二进制进行组合，用一个特定的标志位来表示小数点的位置。

需要注意的是，由于二进制是有限位的，对于某些小数，转换为二进制后可能无法精确表示。这可能会导致舍入误差和精度损失。因此，在进行浮点数计算时，需要注意处理这些舍入误差。

以下是一个示例，将小数 0.625 转换为单精度浮点数的二进制表示：

整数部分：0 的二进制表示为 0。
小数部分：0.625 乘以 2 的结果是 1.25，取整数部分 1，剩余小数部分为 0.25。继续乘以 2，得到整数部分 0，剩余小数部分为 0.5。再次乘以 2，得到整数部分 1，剩余小数部分为 0。小数部分转换为二进制为 "101"。
组合整数部分和小数部分：整数部分为 0，小数部分为 "101"，小数点位置为 3（从小数部分的左边开始计数）。所以 0.625 的二进制表示为 0.101。

请注意，实际上，IEEE 754 标准对于浮点数的表示和转换有更复杂的规则，涉及到指数位、符号位等。这里只给出了简化的示例来说明基本的过程。

	#include <iostream>
	#include <string>

	std::string decimalToBinary(double decimal) {
	if (decimal < 0 \|\| decimal >= 1) {
	return "Invalid decimal";
	}

	std::string binary = "0.";
	while (decimal > 0) {
	decimal *= 2;
	int bit = static_cast<int>(decimal);
	binary += std::to_string(bit);
	decimal -= bit;
	}

	return binary;
	}

	int main() {
	double decimal = 0.625;
	std::cout << decimalToBinary(decimal) << std::endl; // 输出：0.101

	return 0;
	}

对于负数的二进制表示，通常有两种方法：原码和补码。

原码表示法

在原码表示法中，一个负数的二进制表示的最高位为符号位，0 表示正数，1 表示负数。其他位按照正数的二进制表示方法来表示绝对值大小。例如，-3 的原码为 10000011。

原码表示法最大的问题就是加法运算不方便，需要考虑符号位以及进位等情况。因此，补码表示法被广泛使用。

补码表示法

在补码表示法中，一个负数的二进制表示的计算方式和正数不同，需要先求出该数的绝对值二进制表示，然后取其反码，再将结果加 1。其中，反码表示方式为将二进制表示中每个位取反（0 变为 1，1 变为 0），符号位不变。

例如，-3 的补码为 11111101。具体过程如下：

-3 的绝对值为 3，其二进制表示为 00000011；

对该二进制表示取反得到 11111100，这就是 - 3 的反码；

将反码加 1，即得到补码 11111101。

注意，在补码表示法中，最高位的符号位不参与运算，只用来表示正负。加减乘除运算都是直接在补码上进行，无需特别考虑符号位的影响。

对于负数的二进制表示，无论是原码还是补码，其最高位均为 1，因此，在计算机中表示负数时，需要占用更多的位数。例如，在 8 位二进制中，可以表示 - 128 到 127 之间的整数，其中 0 到 127 为正数，128 到 255 为负数。

# 逻辑命题与位运算

逻辑命题是一个陈述句，可以被判定为真或假的陈述。它通常用于逻辑推理和数学证明中。

以下是一些常见的逻辑命题形式：

"今天是星期天"：这是一个具体的命题，要么为真（如果今天确实是星期天），要么为假（如果今天不是星期天）。
"2 加 2 等于 4"：这是一个数学命题，为真。
"地球是平的"：这是一个错误的命题，为假。
"如果下雨，那么地面湿润"：这是一个条件命题，如果下雨，则地面湿润，否则为假。
"所有的猫都有尾巴"：这是一个普遍命题，如果所有的猫都有尾巴，则为真，否则为假。

逻辑命题可以通过观察、推理或实验来确定其真值。在逻辑推理中，根据逻辑规则和前提，我们可以推导出新的命题。逻辑命题在数学、哲学、计算机科学等领域中都发挥着重要的作用。

位运算是一种操作二进制数的运算，它直接对二进制数的位进行操作，而不是像普通四则运算那样对数值进行操作。位运算符号包括按位与（&）、按位或（|）、按位异或（^）、按位取反（~）、左移（<<）和右移（>>）。

下面是每种位运算符号的具体含义和用法：

按位与（&）：将两个二进制数的每一位进行运算，只有当两个对应位都为 1 时，结果才为 1，否则为 0。例如，0b1011 & 0b1100 = 0b1000。
按位或（|）：将两个二进制数的每一位进行运算，只要两个对应位中有一个为 1，结果就为 1，否则为 0。例如，0b1011 | 0b1100 = 0b1111。
按位异或（^）：将两个二进制数的每一位进行运算，如果两个对应位相同，则结果为 0，否则为 1。例如，0b1011 ^ 0b1100 = 0b0111。
按位取反（_{）：将一个二进制数的每一位取反，即 0 变为 1，1 变为 0。例如，}0b1011 = 0b0100。
左移（<<）：将一个二进制数向左移动指定的位数。例如，0b1011 << 2 = 0b110100。
右移（>>）：将一个二进制数向右移动指定的位数。例如，0b1011 >> 2 = 0b10。

位运算通常用于对某些位进行掩码、清除或设置。例如，要将一个二进制数的第 3 位清零，可以使用按位与运算符和掩码：num & 0b11110111。要将一个二进制数的第 4 位设置为 1，可以使用按位或运算符和掩码：num | 0b00001000。此外，位运算还可以用于实现一些高效的算法和数据结构，例如布隆过滤器和哈希表。

基础数学与数论位运算进制转换

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图

计数原理与排列组合